Λακανικά μαθηματικά: Εισαγωγή στη θεωρία των κόμβων 

Πολίνα Αγαπάκη

Η Θεωρία Κόμβων είναι ένας κλάδος της Τοπολογίας που εξετάζει τους κόμβους και τους κρίκους. Παρόλο που η αρχική έμπνευση για την έννοια του κόμβου προέρχεται από τους κόμπους που απαντώνται στην καθημερινή ζωή, όπως αυτοί που δημιουργούνται με σχοινιά και κορδόνια, ο μαθηματικός κόμβος διαφέρει στο ότι τα άκρα του είναι ενωμένα και δεν μπορεί να “λυθεί”.

 Η Τοπολογία δεν εξετάζει τις γεωμετρικές ιδιότητες των αντικειμένων, όπως το μήκος και τις γωνίες, αλλά τις ιδιότητες οι οποίες μένουν αναλλοίωτες ως προς την αλλαγή καμπυλότητας, στρέψης και ως προς τις ελαστικές παραμορφώσεις. Για παράδειγμα, στην Τοπολογία, μια σφαίρα είναι όμοια με έναν κύβο και ένα ντόνατ με μια κούπα.

Ο πιο απλός κόμβος είναι ο τετριμμένος.

Ο αμέσως επόμενος είναι ο κόμβος trefoil και η κατοπτρική του εικόνα, 

και μετά είναι ο κόμβος figure-8. 

Ένας κόμβος είναι μια κλειστή, μονοδιάστατη και συνεχής μη τεμνόμενη καμπύλη στον τρισδιάστατο χώρο. Η κατοπτρική εικόνα ενός κόμβου, είναι ο ίδιος κόμβος με αντίθετες διασταυρώσεις.

Οι κόμβοι μπορούν να περιγραφούν με διάφορους τρόπους αλλά, ανάλογα με τη μέθοδο, κάθε κόμβος μπορεί να αντιπροσωπεύεται από περισσότερες από μία περιγραφές. Συνεπώς, ένα θεμελιώδες πρόβλημα της θεωρίας κόμβων είναι η απόδειξη ότι δύο διαφορετικές περιγραφές αντιπροσωπεύουν τον ίδιο κόμβο. Από την εποχή που ξεκίνησε η ανάπτυξη της θεωρίας κόμβων, τον 19ο αιώνα, έως σήμερα έχουν πινακογραφηθεί πάνω από έξι δισεκατομμύρια κόμβοι και σύνδεσμοι.

Η μαθηματική θεωρία των κόμβων αναπτύχθηκε για πρώτη φορά το 1771. Η μαθηματική μελέτη των κόμβων άρχισε το 19ο αιώνα με τον Gauss. Στη δεκαετία του 1860, η θεωρία του Lord Kelvin ότι τα άτομα αποτελούν κόμβους μέσα σε αιθέρα οδήγησε στην πρώτη ολοκληρωμένη ταξινόμηση των κόμβων σε καταλόγους. Τις τελευταίες δεκαετίες του 20ου αιώνα, οι επιστήμονες άρχισαν να ενδιαφέρονται για τη μελέτη της θεωρίας των φυσικών κόμβων με σκοπό να κατανοήσουν το φαινόμενο των κόμβων στο DNA και σε άλλα πολυμερή. Η θεωρία των κόμβων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχτεί αν ένα μόριο είναι χειρικό (“μπορείς να το χειριστείς”) ή όχι και είναι ζωτικής σημασίας για την κατασκευή κβαντικών υπολογιστών.

Ιστορία των κόμβων

Οι αρχαιολόγοι έχουν ανακαλύψει ότι το δέσιμο των κόμπων χρονολογείται από τα προϊστορικά χρόνια. Εκτός από τις χρήσεις τους ως καταγραφή πληροφοριών και δέσιμο αντικειμένων μαζί, οι κόμβοι ενδιαφέρουν τους ανθρώπους για την αισθητική τους και τον πνευματικό συμβολισμό τους. Έτσι, έχουμε τους κόμπους που εμφανίστηκαν στην κινεζική τέχνη, αλλά και στον θιβετιανό βουδισμό και στον κέλτικο πολιτισμό, ενώ τα βορρόμεια δακτυλίδια εμφανίστηκαν σε διάφορους πολιτισμούς, και αποτυπώνουν τη δύναμη της ενότητας. Έχουν χρησιμοποιηθεί και σε θρησκευτικό πλαίσιο για να συμβολίσουν την Αγία Τριάδα. 

Παράδειγμα Quipu από την εποχή των Incas. Οι Quipu απαντώνται στην περιοχή των Άνδεων και χρησιμοποιούνταν για συλλογή πληροφοριών, τήρηση αρχείων, παρακολούθηση φορολογικών υποχρεώσεων, απογραφή πληθυσμού, ημερολογιακές πληροφορίες και στρατιωτική χρήση. Οι πληροφορίες κωδικοποιούνταν με τη χρήση κόμβων που τοποθετούνταν σε ένα αρκετά πολύπλοκο σύστημα. Το σημαίνον quipu σημαίνει κόμβος ή δένω στη διάλεκτο Quechua.

Ισοδύναμοι κόμβοι

Σε μαθηματική γλώσσα, ο κόμβος είναι μια ενσωμάτωση ενός κύκλου στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο, R³.

Όταν οι μαθηματικοί που ασχολούνταν με την τοπολογία μελέτησαν τους κόμβους, θεώρησαν τον χώρο γύρω από τον κόμβο ως ένα παχύρρευστο υγρό. Αν ο κόμβος μπορεί να πιεστεί ομαλά μέσα στο υγρό χωρίς να τέμνει τον ίδιο και μπορεί να συμπιεστεί σε έναν άλλον κόμβο, τότε οι δύο κόμβοι θεωρούνται ισοδύναμοι. Αυτοί οι μετασχηματισμοί αντιστοιχούν σε χειρισμούς μιας χορδής δεμένης σε κόμπο, χωρίς η χορδή να κόβεται ή να περνά μέσα από τον εαυτό της.

Η ιδέα των ισοδύναμων κόμβων είναι για να δοθεί ένας ακριβής ορισμός για το πότε πρέπει δύο κόμβοι να θεωρούνται ίδιοι.

Αυτοί οι δύο κόμβοι θεωρούνται ισοδύναμοι

Διαγράμματα κόμβων

Ένας χρήσιμος τρόπος για να απεικονίσεις και να χειριστείς τους κόμβους είναι να τους προβάλεις πάνω σε ένα επίπεδο —σκεφτείτε τον κόμβο ως μια σκιά στον τοίχο. 

Κάθε διασταύρωση είναι ικανή να δημιουργήσει έναν κόμβο, όπου το πάνω μέρος του θα πρέπει να διακρίνεται από το κάτω. 

Αριστερόστροφο τριφύλλι κόμβος

Δεξιόστροφο τριφύλλι κόμβος

Στην πραγματικότητα, υπάρχουν δύο κόμβοι τριφύλλια, που ονομάζονται αριστερόστροφο και δεξιόστροφο τριφύλλι, τα οποία είναι κατοπτρική εικόνα μεταξύ τους. Τα τριφύλλια δεν είναι ισοδύναμα μεταξύ τους, πράγμα που σημαίνει ότι δεν είναι και αμφίχειρα (δηλαδή γυρνώντας το σχήμα αριστερόστροφα ή δεξιόστροφα να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα).

Βορρόμειος δακτύλιος

Το όνομά του προέρχεται από μια διάσημη οικογένεια αριστοκρατών στην Ιταλία, από την εποχή της Αναγέννησης, των Borromeo, που υιοθέτησαν τον δακτύλιο αυτό ως  εραλδικό σύμβολό τους. Τον σκάλιζαν στις πέτρες των κάστρων τους, σε μια από τις Βορρόμειες Νήσους στο Lago Maggiore, στη βόρειο Ιταλία.

Το σύμβολο της οικογένειας των Μπορρομέο, μεταξύ πολλών ερμηνειών, έχει προταθεί ότι συμβολίζει τους γάμους, οι οποίοι έδεναν την οικογένεια των Μπορρομέο με δύο άλλες ευγενείς οικογένειες – μια ισχυρή και σταθερή συμμαχία, που ωφέλησε την οικογένεια για πολλούς αιώνες. 

Έχει επίσης βρεθεί σκαλισμένος σε πέτρες στο Götland, νησί τους Βαλτικής Θάλασσας νότια τους Σουηδίας, με το εύρημα να χρονολογείται από τον 9^ο αιώνα. Πιστεύεται ότι προέρχεται από μύθους τους σκανδιναβικής μυθολογίας. Τέλος, λαοί τους βόρειας Σκανδιναβίας ονομάζουν τον βορρόμειο κόμβο «Τρίγωνο του Όντιν», ή Valknut «Κόμβο εκείνου που σκοτώθηκε». 

Ο βορρόμειος κόμβος αποτελείται από 3 δακτυλίους, ανεξάρτητους μεταξύ τους, με την ιδιότητα ότι αν αφαιρέσουμε έναν αποσυνδέονται και οι υπόλοιποι. Πρόκειται για τρεις απλές κλειστές καμπύλες σε τρισδιάστατο χώρο που είναι τοπολογικά συνδεδεμένες και δεν μπορούν να χωριστούν η μία από την άλλη, αλλά χωρίζονται σε δύο ασυνόδευτους και μη συνδεδεμένους βρόχους όταν κόβεται ή αφαιρείται οποιοδήποτε από τα τρία.

Όταν αναφερόμαστε στον βορρόμειο κόμβο, υποθέτουμε πως αποτελείται από 3 δακτυλίους, όμως το δέσιμο αυτό μπορεί να υπάρξει και για περισσότερους. Αν έχουμε περισσότερα από 3 συστατικά στοιχεία, τότε έχουμε τους Brunnian (από τον Herman Brunn) κόμβους, υποσύνολο των οποίων είναι ο βορρόμειος.  Η πλεξούδα είναι Brunnian κόμβος. Οι αλυσίδες που φτιάχνονται με λαστιχάκια είναι ένα παράδειγμα τέτοιων κόμβων. https://en.wikipedia.org/wiki/Rainbow_Loom. 

Brunnian κόμβος με 6 στοιχεία

Ο βορρόμειος κόμβος με 3 κρίκους, που ο Λακάν χρησιμοποίησε από το 1972, επιτρέπει μια νέα γραφή των μαθημίων του. Το νόημα τοποθετείται στην τομή συμβολικού και φαντασιακού, εφόσον το νόημα είναι επίπτωση του συμβολικού στο φαντασιακό, όμως ο κόμβος δείχνει ότι υπεισέρχεται και στο πραγματικό, με τέτοιον τρόπο ώστε η επίπτωση της ψυχαναλυτικής ερμηνείας να μπορεί να είναι πραγματική. Το αντικείμενο α τοποθετείται στο κέντρο. Η φαλλική απόλαυση και η απόλαυση του Άλλου τοποθετούνται επίσης στον κόμβο. 

Στην ανθρώπινη κατάσταση των καθιερωμένων λόγων και του κοινωνικού δεσμού, προκειμένου τα τρία πεδία R, S, I να κρατιούνται μεταξύ τους, το υποκείμενο χρειάζεται επιπλέον κάτι: είτε μια λύση πρετ-α-πορτέ (πχ. ΟτΠ), ή οποιοδήποτε άλλο μαστόρεμα, που ο Λακάν θα ονομάσει σίνθωμα. Αυτό, είναι ο τέταρτος κρίκος. Με αυτή την αφετηρία, η κλινική δείχνει διαφορετικούς τρόπους δεσίματος του κόμβου, δηλαδή τον ενικό τρόπο του καθενός ώστε να κρατιούνται μαζί οι διαφορετικές αυτές διαστάσεις. Ο Λακάν εισάγει τον όρο του σινθώματος το 1975 ως τίτλο του Σεμιναρίου εκείνης της χρονιάς, στο οποίο μελετάει το έργο του Τζόυς και μετατοπίζει την θεώρησή του από τη γλωσσολογία στην τοπολογία. Δεδομένου ότι το νόημα αποτελεί ήδη τμήμα του κόμβου, η λειτουργία του σινθώματος που δένει τα 3 πεδία εντοπίζεται πέραν του νοήματος. Ο Λακάν μας υπενθύμισε ότι ο Τζόις κατάφερε να μαστορέψει μια δική του εκδοχή του ΟτΠ με το δικό του κύριο όνομα και να απασχολήσει τους ακαδημαϊκούς για τουλάχιστον 3 αιώνες. Συνεπώς ο Τζόις δεν είναι τρελός γιατί κατασκεύασε μια αναπλήρωση για την πατρική μεταφορά που αστοχούσε, που συνίστατο στη συγγραφή και έκδοση των βιβλίων του. Όπως θα πει ο Λακάν: «Δίνω στον Τζόυς το κύριο όνομά του και τίποτε λιγότερο. Είναι αυτό με το οποίο, πιστεύω, θα αναγνώριζε τον εαυτό του». Είναι το δικό του «Είσαι αυτό». 

Brunnian κόμβοι με 4 στοιχεία

Σχετικά βίντεο

https://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/a-few-of-my-favorite-spaces-borromean-rings/

Βιβλιογραφία

• Lacan topologue, Pierre Skriabine, La cause Freudienne, 2011 (3), No 79, pages 259 à 271
• https://carnets2psycho.net/dico/sens-de-topologie.html 
• Γιάννης Δημητράκος, Το σίνθωμα ή η λύτρωση μέσω της γραφής. Τετράδια ψυχιατρικής, Μάρτιος 2012, Νο. 117. Σελ. 31-40
• J. Lacan, «Joyce Le symptôme».